Exceptional polynomials This page gives examples of exceptional polynomials
according to the definition in my paper Distance to the
discriminant . They are all homogeneous polynomials in three
variables and therefore their zero locus are algebraic curves in the
projective plane. These polynomials maximize the distance to the discriminant for
the Bombieri norm, among polynomials of the same norm. As a consequence
(see the paper), they can all be written as sums of powers of linear
forms in the directions which correspond to critical points of the polynomial on
the unit sphere with the minimum absolute critical value.
This page presents two kinds of polynomials: exact
ones and numerical approximations . The
former are normalized to be at distance one to the discriminant,
while the latter are normalized to have Bombieri norm 1. In both cases,
we give two expressions:
The original form P arising from the construction of the curve.
The writing P 1 as a sum of power of linear forms.
For exact polynomials we have P = P 1 . For numerical polynomials,
∥
P
−
P
1
∥
∥ P ∥ gives us an interesting error which tells us if the polynomial is optimized enough. For instance, if it is less than
dist
(
P
,
Δ
)
∥
P
∥
, we know that both polynomials have zero locus which are ambient-isotopic. When this is not the case, the optimization
process to maximize the distance to the discriminant is not
finished yet and the polynomial is marked with a 🔴
sign. We stopped optimisation when we got the best polynomial with coefficients represented as double (64 bits IEEE 754 representation) (marked as 🟢). When it is not the case, we will continue the optimisation (marked as 🟡). For the writing as a sum of power of linear forms, we give enough precision for the distance between the two polynomials to be accurate. We provide images of the zero locus curves that can be zoomed and
dragged. The curve is projected onto a disc shown in light grey using
the stereographic projection
x
,
y
,
z
↦
x
1
+
z
,
y
1
+
z
of the hemisphere
z
>
0
. We also highlight with a cross the critical points with the least critical absolute value on the unit sphere. These are the directions of the linear forms in the expression as a sum of linear forms to the power d.
Table of curves (see the lexicon below for explanation of the remarks)
Degree
Topology
Remark
Nb. of forms
dist
(
P
,
Δ
)
∥
P
∥
∥
P
−
P
1
∥
∥ P ∥ Good
Lexicon
M curve Algebraic curve with the maximum number of connected components for its degree:
M
=
(
d
-
1
)
(
d
-
2
)
2
+
1
.
M-k curve Algebraic curve with
M
-
k
connected components (k below the maximum).
EM-k curve Extremal M-k curve: no extra oval can be added without changing the relative position of the existing ovals or increasing the degree.
LM-k curve Extremal M-k curve: no extra oval can be added locally without changing the relative position of the existing ovals. Locally means that the transformation is a deformation in the space of polynomials with the same degree using only one singular point which is not an isolated point of the curve.
Harnacks's M-curve Refers to the 1876 construction of Harnack [Harnack 1876] reaching the maximum for any degree.
Hilberts's M-curve Refers to the 1891 construction of Hilbert [Hilbert 1891] reaching the maximum with nests containing many ovals. The construction also gives the two EM-2 sextic curves presented on this page.
Gudkov's M-curve Refers to the 1960s construction of Gudkov [Gudkov 1974] for the last missing sextic M-curve.
Bibliography
A. Harnack
“Über die Vieltheiligkeit der ebenen algebraischen Curven”
Mathematische Annalen , 10 (1876), 189–199.
D. Hilbert
“Ueber die reellen Züge algebraischer Curven”
Mathematische Annalen , 38 (1891), 115–138.
D. A. Gudkov
“The topology of real projective algebraic varieties”
Russian Mathematical Surveys , 29 (1974), 3–79. (Earlier version exists in russian)
@ Christophe Raffalli
Last modified:20/04/2026
Exact polynomials
Degree 2, ⟨1⟩ (M curve) 🟢Copy python definition
P
=
x 2 + y 2 - z 2
=
x 2 + y 2 - z 2
‖ P ‖
=
3
‖ P - P 1 ‖
=
0
dist ( P , Δ )
=
1 ± 0
Degree 3, ⟨J ∐ 1⟩ (M curve) 🟢Copy python definition
P
=
z ⁢ - 3 ⁢ x 2 - 3 ⁢ y 2 + z 2
=
5 ⁢ z 3 3 - - 3 ⁢ x + z 3 6 - 3 ⁢ x + z 3 6 - - 3 ⁢ y + z 3 6 - 3 ⁢ y + z 3 6
‖ P ‖
=
7
‖ P - P 1 ‖
=
0
dist ( P , Δ )
=
1 ± 0
Degree 4, ⟨4⟩ (M curve) 🟢Copy python definition
P
=
- x + y + z ⁢ x - y + z ⁢ x + y - z ⁢ 6 ⁢ x + 6 ⁢ y + 6 ⁢ z - x 2 + y 2 + z 2 2
=
- 13 ⁢ x - y 4 3 - 13 ⁢ x + y 4 3 - 13 ⁢ x - z 4 3 - 13 ⁢ x + z 4 3 - 13 ⁢ y - z 4 3 - 13 ⁢ y + z 4 3 + 31 ⁢ x - y - z 4 12 + 31 ⁢ x - y + z 4 12 + 31 ⁢ x + y - z 4 12 + 31 ⁢ x + y + z 4 12
‖ P ‖
=
197
‖ P - P 1 ‖
=
0
dist ( P , Δ )
=
1 ± 0
Degree 4, ⟨3⟩ (M-1 curve) 🟢Copy python definition
P
=
- x + y + z ⁢ x - y + z ⁢ x + y - z ⁢ 2 ⁢ x + 2 ⁢ y + 2 ⁢ z + x 2 + y 2 + z 2 2
=
- 3 ⁢ x 4 - 3 ⁢ y 4 - 3 ⁢ z 4 + x - y 4 2 + x + y 4 2 + x - z 4 2 + x + z 4 2 + y - z 4 2 + y + z 4 2
‖ P ‖
=
21
‖ P - P 1 ‖
=
0
dist ( P , Δ )
=
1 ± 0
Degree 6, ⟨10⟩ V1 (LM-1 curve) 🟢Copy python definition
This is a M-1 curve, but locally extremal. It is probably not in the same rigid isotopy class than the next one.
P
=
- x 2 + y 2 + z 2 3 + 2 ⁢ - x ⁢ φ + 2 + z ⁢ 5 + 3 + 1 φ ⁢ x ⁢ φ + 2 + z ⁢ 5 + 3 + 1 φ ⁢ x ⁢ 5 + 3 + 1 φ - y ⁢ φ + 2 ⁢ x ⁢ 5 + 3 + 1 φ + y ⁢ φ + 2 ⁢ y ⁢ 5 + 3 + 1 φ - z ⁢ φ + 2 ⁢ y ⁢ 5 + 3 + 1 φ + z ⁢ φ + 2 - 3 ⁢ φ + 2 3 + 3 ⁢ 5 + 3 + 1 φ 3 3 ⁢ 3 ⁢ φ + 2 3 + 3 ⁢ 5 + 3 + 1 φ 3 3
=
127 ⁢ - φ ⁢ x + z φ 6 30 + 127 ⁢ φ ⁢ x + z φ 6 30 + 127 ⁢ - φ ⁢ y + x φ 6 30 + 127 ⁢ φ ⁢ y + x φ 6 30 + 127 ⁢ - φ ⁢ z + y φ 6 30 + 127 ⁢ φ ⁢ z + y φ 6 30 + 127 ⁢ x - y - z 6 30 + 127 ⁢ x - y + z 6 30 + 127 ⁢ x + y - z 6 30 + 127 ⁢ x + y + z 6 30 - 219 20 - 73 ⁢ 5 15 ⁢ x 6 ⁢ 1 + 5 6 + y 6 ⁢ 1 + 5 6 + z 6 ⁢ 1 + 5 6 + - φ ⁢ x - y ⁢ φ + 1 + z 6 + - φ ⁢ x + y ⁢ φ + 1 + z 6 + φ ⁢ x - y ⁢ φ + 1 + z 6 + φ ⁢ x + y ⁢ φ + 1 + z 6 + - φ ⁢ y + x - z ⁢ φ + 1 6 + - φ ⁢ y + x + z ⁢ φ + 1 6 + φ ⁢ y + x - z ⁢ φ + 1 6 + φ ⁢ y + x + z ⁢ φ + 1 6 + - φ ⁢ z - x ⁢ φ + 1 + y 6 + - φ ⁢ z + x ⁢ φ + 1 + y 6 + φ ⁢ z - x ⁢ φ + 1 + y 6 + φ ⁢ z + x ⁢ φ + 1 + y 6
‖ P ‖
=
2311
‖ P - P 1 ‖
=
0
dist ( P , Δ )
=
1 ± 0
Degree 6, ⟨10⟩ V2 (LM-1 curve) 🟢Copy python definition
This is a M-1 curve, but locally extremal. It is probably not in the same rigid isotopy class than the previous one.
P
=
1458 ⁢ - 4 ⁢ x 2 9 - 4 ⁢ y 2 9 + 5 ⁢ z 2 9 ⁢ - 4 ⁢ x 2 9 + 5 ⁢ y 2 9 - 4 ⁢ z 2 9 ⁢ 5 ⁢ x 2 9 - 4 ⁢ y 2 9 - 4 ⁢ z 2 9 + x 2 + y 2 + z 2 3
=
- 9236 ⁢ 2 ⁢ x 2 - 2 ⁢ y 2 6 3 - 9236 ⁢ 2 ⁢ x 2 + 2 ⁢ y 2 6 3 - 9236 ⁢ 2 ⁢ x 2 - 2 ⁢ z 2 6 3 - 9236 ⁢ 2 ⁢ x 2 + 2 ⁢ z 2 6 3 - 9236 ⁢ 2 ⁢ y 2 - 2 ⁢ z 2 6 3 - 9236 ⁢ 2 ⁢ y 2 + 2 ⁢ z 2 6 3 + 15255 ⁢ x 3 - 2 ⁢ y 3 - 2 ⁢ z 3 6 4 + 15255 ⁢ x 3 - 2 ⁢ y 3 + 2 ⁢ z 3 6 4 + 15255 ⁢ x 3 + 2 ⁢ y 3 - 2 ⁢ z 3 6 4 + 15255 ⁢ x 3 + 2 ⁢ y 3 + 2 ⁢ z 3 6 4 + 15255 ⁢ 2 ⁢ x 3 - 2 ⁢ y 3 - z 3 6 4 + 15255 ⁢ 2 ⁢ x 3 - 2 ⁢ y 3 + z 3 6 4 + 15255 ⁢ 2 ⁢ x 3 - y 3 - 2 ⁢ z 3 6 4 + 15255 ⁢ 2 ⁢ x 3 - y 3 + 2 ⁢ z 3 6 4 + 15255 ⁢ 2 ⁢ x 3 + y 3 - 2 ⁢ z 3 6 4 + 15255 ⁢ 2 ⁢ x 3 + y 3 + 2 ⁢ z 3 6 4 + 15255 ⁢ 2 ⁢ x 3 + 2 ⁢ y 3 - z 3 6 4 + 15255 ⁢ 2 ⁢ x 3 + 2 ⁢ y 3 + z 3 6 4 - 6744 ⁢ 3 ⁢ x 3 - 3 ⁢ y 3 - 3 ⁢ z 3 6 - 6744 ⁢ 3 ⁢ x 3 - 3 ⁢ y 3 + 3 ⁢ z 3 6 - 6744 ⁢ 3 ⁢ x 3 + 3 ⁢ y 3 - 3 ⁢ z 3 6 - 6744 ⁢ 3 ⁢ x 3 + 3 ⁢ y 3 + 3 ⁢ z 3 6
‖ P ‖
=
91213
‖ P - P 1 ‖
=
0
dist ( P , Δ )
=
1 ± 0
Approximated polynomials
Degree 5, ⟨𝐽 ∐ 6⟩ (Harnack's M-curve) 🟢Copy python definition
P
=
- 0.00106873415699291 ⁢ x 5 + 0.0298190870015163 ⁢ x 4 ⁢ y + 0.0298190870015163 ⁢ x 4 ⁢ z - 0.0965192797742039 ⁢ x 3 ⁢ y 2 + 0.53131622091545 ⁢ x 3 ⁢ y ⁢ z - 0.0965192797742039 ⁢ x 3 ⁢ z 2 - 0.0965192797742039 ⁢ x 2 ⁢ y 3 - 3.08382139247772 ⁢ x 2 ⁢ y 2 ⁢ z - 3.08382139247772 ⁢ x 2 ⁢ y ⁢ z 2 - 0.0965192797742039 ⁢ x 2 ⁢ z 3 + 0.0298190870015163 ⁢ x ⁢ y 4 + 0.53131622091545 ⁢ x ⁢ y 3 ⁢ z - 3.08382139247772 ⁢ x ⁢ y 2 ⁢ z 2 + 0.53131622091545 ⁢ x ⁢ y ⁢ z 3 + 0.0298190870015163 ⁢ x ⁢ z 4 - 0.00106873415699291 ⁢ y 5 + 0.0298190870015163 ⁢ y 4 ⁢ z - 0.0965192797742039 ⁢ y 3 ⁢ z 2 - 0.0965192797742039 ⁢ y 2 ⁢ z 3 + 0.0298190870015163 ⁢ y ⁢ z 4 - 0.00106873415699291 ⁢ z 5
≃
19.0067688827383566386 ⁢ - x + 0.060149842239871802922 ⁢ y - 0.403906402377617521231 ⁢ z 5 - 4.10506254927064870458 ⁢ - x + 0.151988408912245202572 ⁢ y - z 5 + 19.0067688827383566386 ⁢ - 0.403906402377617521231 ⁢ x - y + 0.060149842239871802922 ⁢ z 5 + 19.0067688827383566386 ⁢ - 0.403906402377617521231 ⁢ x + 0.060149842239871802922 ⁢ y - z 5 + 4.10506254927064870458 ⁢ - 0.151988408912245202572 ⁢ x + y + z 5 - 19.0067688827383566386 ⁢ - 0.060149842239871802922 ⁢ x + 0.403906402377617521231 ⁢ y + z 5 - 19.0067688827383566386 ⁢ - 0.060149842239871802922 ⁢ x + y + 0.403906402377617521231 ⁢ z 5 - 11.2705241276892411097 ⁢ - 0.0407005400461146206818 ⁢ x - 0.0407005400461146206818 ⁢ y + z 5 + 11.2705241276892411097 ⁢ 0.0407005400461146206818 ⁢ x - y + 0.0407005400461146206818 ⁢ z 5 + 41.481624760977906961 ⁢ 0.0740590551607518339134 ⁢ x + 0.0740590551607518339134 ⁢ y + z 5 + 41.481624760977906961 ⁢ 0.0740590551607518339134 ⁢ x + y + 0.0740590551607518339134 ⁢ z 5 - 11.2705241276892411097 ⁢ x - 0.0407005400461146206818 ⁢ y - 0.0407005400461146206818 ⁢ z 5 + 41.481624760977906961 ⁢ x + 0.0740590551607518339134 ⁢ y + 0.0740590551607518339134 ⁢ z 5 - 19.0067688827383566386 ⁢ x + 0.403906402377617521231 ⁢ y - 0.060149842239871802922 ⁢ z 5 + 4.10506254927064870458 ⁢ x + y - 0.151988408912245202572 ⁢ z 5
‖ P ‖
=
1.0
‖ P - P 1 ‖
=
6.59982960231662876817 · 10 -18
dist ( P , Δ )
=
0.0024915028190241140454 ± 2.1 · 10 -18
Degree 5, ⟨𝐽 ∐ 5⟩ (M-1 curve) 🟢Copy python definition
P
=
0.138282576385407 ⁢ x 5 + 1.60664479990138 · 10 -74 ⁢ x 4 ⁢ y + 0.587838979474442 ⁢ x 4 ⁢ z - 1.38282576385407 ⁢ x 3 ⁢ y 2 - 3.45958159975304 · 10 -74 ⁢ x 3 ⁢ y ⁢ z - 2.46107002700762 · 10 -16 ⁢ x 3 ⁢ z 2 + 1.47505838426774 · 10 -74 ⁢ x 2 ⁢ y 3 + 1.17567795894888 ⁢ x 2 ⁢ y 2 ⁢ z - 3.70217191641533 · 10 -75 ⁢ x 2 ⁢ y ⁢ z 2 - 1.09348571906146 ⁢ x 2 ⁢ z 3 + 0.691412881927033 ⁢ x ⁢ y 4 - 2.47113823740793 · 10 -74 ⁢ x ⁢ y 3 ⁢ z - 2.46107002700755 · 10 -16 ⁢ x ⁢ y 2 ⁢ z 2 + 2.7937426435764 · 10 -74 ⁢ x ⁢ y ⁢ z 3 + 2.09231774897847 · 10 -16 ⁢ x ⁢ z 4 - 4.55162698598173 · 10 -75 ⁢ y 5 + 0.587838979474442 ⁢ y 4 ⁢ z + 2.22806310010669 · 10 -75 ⁢ y 3 ⁢ z 2 - 1.09348571906146 ⁢ y 2 ⁢ z 3 + 2.12423438761526 · 10 -75 ⁢ y ⁢ z 4 + 0.520200768721775 ⁢ z 5
≃
- 0.29605504806173057544 ⁢ - x - 0.72654252800536085922 ⁢ y - 0.53504137204818599689 ⁢ z 5 - 0.71454566055256360844 ⁢ - 0.91062288684363371968 ⁢ x - 3.607937568104080216 · 10 -75 ⁢ y - z 5 + 0.62348654107263842188 ⁢ - 0.8606112651663603633 ⁢ x - 0.62527068422385940514 ⁢ y - z 5 + 0.62348654107263842188 ⁢ - 0.8606112651663603633 ⁢ x + 0.62527068422385940514 ⁢ y - z 5 + 0.71454566055256397067 ⁢ - 0.73670939092327428073 ⁢ x - 0.53525070328668537012 ⁢ y + z 5 - 0.66085414860515297247 ⁢ - 0.32491969623290630207 ⁢ x - y + 0.98842629975056749903 ⁢ z 5 - 0.66085414860515297247 ⁢ - 0.32491969623290630207 ⁢ x + y + 0.98842629975056749903 ⁢ z 5 - 0.71454566055256373042 ⁢ - 0.28139794750145754851 ⁢ x - 0.86605383042014205249 ⁢ y - z 5 + 0.71454566055256373042 ⁢ 0.28139794750145754851 ⁢ x - 0.86605383042014205249 ⁢ y + z 5 - 0.66468499593665377835 ⁢ 0.32491969623290631514 ⁢ x - y - 0.45513337563457402094 ⁢ z 5 - 0.66468499593665377835 ⁢ 0.32491969623290631514 ⁢ x + y - 0.45513337563457402094 ⁢ z 5 - 0.71454566055256397067 ⁢ 0.73670939092327428073 ⁢ x - 0.53525070328668537012 ⁢ y - z 5 + 0.29605504806173057544 ⁢ x - 0.72654252800536085922 ⁢ y + 0.53504137204818599689 ⁢ z 5 + 0.84932516656440315741 ⁢ x + 6.8750384056112487783 · 10 -75 ⁢ y - 0.94004927325528403985 ⁢ z 5 - 0.85424854497517219184 ⁢ x + 8.1446624204447317375 · 10 -75 ⁢ y - 0.43285756268067151253 ⁢ z 5
‖ P ‖
=
1.0
‖ P - P 1 ‖
=
1.2899195370252784891 · 10 -16
dist ( P , Δ )
=
0.023035530697453850865 ± 2.0 · 10 -17
Degree 6, ⟨9 ∐ 1⟨1⟩⟩ (Harnack's M-curve) 🟢Copy python definition
P
=
9.61142335107702 · 10 -5 ⁢ x 6 + 3.94443008515037 · 10 -10 ⁢ x 5 ⁢ y + 2.67267233665759 · 10 -10 ⁢ x 5 ⁢ z + 1.89115375851639 ⁢ x 4 ⁢ y 2 + 2.58331622515706 ⁢ x 4 ⁢ y ⁢ z + 0.875510022522388 ⁢ x 4 ⁢ z 2 + 2.66999394915689 · 10 -10 ⁢ x 3 ⁢ y 3 - 6.20517332800208 · 10 -10 ⁢ x 3 ⁢ y 2 ⁢ z - 2.05949268851703 · 10 -9 ⁢ x 3 ⁢ y ⁢ z 2 - 9.31641981873725 · 10 -10 ⁢ x 3 ⁢ z 3 - 1.26028860154197 ⁢ x 2 ⁢ y 4 + 1.7222108157218 ⁢ x 2 ⁢ y 3 ⁢ z + 1.75102004537569 ⁢ x 2 ⁢ y 2 ⁢ z 2 - 1.04016485661514 ⁢ x 2 ⁢ y ⁢ z 3 - 0.646445147783245 ⁢ x 2 ⁢ z 4 - 1.32826799302121 · 10 -10 ⁢ x ⁢ y 5 + 6.55961777153812 · 10 -10 ⁢ x ⁢ y 4 ⁢ z - 3.68042052082951 · 10 -10 ⁢ x ⁢ y 3 ⁢ z 2 - 9.32752465572185 · 10 -10 ⁢ x ⁢ y 2 ⁢ z 3 + 3.18455509933182 · 10 -10 ⁢ x ⁢ y ⁢ z 4 + 1.98003078320781 · 10 -10 ⁢ x ⁢ z 5 + 0.210192271668139 ⁢ y 6 - 0.861105408365832 ⁢ y 5 ⁢ z + 0.875510021681553 ⁢ y 4 ⁢ z 2 + 0.346721619732493 ⁢ y 3 ⁢ z 3 - 0.646445147562636 ⁢ y 2 ⁢ z 4 - 1.37166228257369 · 10 -10 ⁢ y ⁢ z 5 + 9.61142335107702 · 10 -5 ⁢ z 6
≃
66.93686669425698903529 ⁢ - x - 0.8218932677946685127487 ⁢ y + 0.6112970526059105521734 ⁢ z 6 + 29.83886372938646615504 ⁢ - x - 0.5773502693407670262029 ⁢ y + 0.7755416011207467205052 ⁢ z 6 - 161.4834524074586203881 ⁢ - x - 0.5773502693198680564291 ⁢ y + 0.6680498092570660452873 ⁢ z 6 + 211.9380952162161431169 ⁢ - x - 0.3755455622667985054818 ⁢ y + 0.5044618876121104498163 ⁢ z 6 + 364.9834573493371747307 ⁢ - x - 2.669008966417179101189 · 10 -13 ⁢ y + 1.530793450735262160484 · 10 -10 ⁢ z 6 - 310.3206708905372230308 ⁢ - x + 0.1794164579134390463943 ⁢ y - 0.2584626453433536742282 ⁢ z 6 - 161.483452605925767409 ⁢ - x + 0.5773502692010713005547 ⁢ y - 0.6680498088140657390602 ⁢ z 6 + 29.83886377195106663602 ⁢ - x + 0.577350269202969934971 ⁢ y - 0.7755416006302053481315 ⁢ z 6 - 67.92753763377424356878 ⁢ - 0.844215781348180053884 ⁢ x - y + 0.3329343390973398906134 ⁢ z 6 + 70.72915848987851912085 ⁢ - 1.025471157509130158372 · 10 -10 ⁢ x - y - 0.6716387282567188091039 ⁢ z 6 - 382.7755909860688652925 ⁢ - 8.829686423469717273501 · 10 -11 ⁢ x - y - 0.5785481058127065480823 ⁢ z 6 + 3.183370227680662699357 ⁢ 1.530793450735540212018 · 10 -10 ⁢ x - 1.060454037763545767665 · 10 -10 ⁢ y + z 6 + 290.2376199205781421498 ⁢ 0.1658457998032896828955 ⁢ x - y - 0.478708252551350989984 ⁢ z 6 + 290.2376199207323084534 ⁢ 0.1658457999493018905309 ⁢ x + y + 0.4787082525005334776673 ⁢ z 6 - 236.5004226472435980178 ⁢ 0.3605824654230248522674 ⁢ x - y - 0.2704337660992902758391 ⁢ z 6 - 236.5004226475167270111 ⁢ 0.3605824655052172933009 ⁢ x + y + 0.2704337659888427675485 ⁢ z 6 + 153.9773960693955920018 ⁢ 0.5773502691892671343616 ⁢ x + y + 1.766848541306840039539 · 10 -11 ⁢ z 6 + 153.9773960691108656769 ⁢ 0.5773502691899788700535 ⁢ x - y - 1.94429287584244143221 · 10 -10 ⁢ z 6 - 67.92753763359057678674 ⁢ 0.8442157814510250374912 ⁢ x - y + 0.332934338839025927607 ⁢ z 6 + 66.93686676959816746622 ⁢ x - 0.8218932676399535888585 ⁢ y + 0.6112970521850770384516 ⁢ z 6 + 211.9380954128682341349 ⁢ x - 0.3755455622081881381574 ⁢ y + 0.5044618872279388184746 ⁢ z 6 - 310.3206707430237639868 ⁢ x + 0.1794164579281873606829 ⁢ y - 0.2584626456699894184131 ⁢ z 6
‖ P ‖
=
1.0
‖ P - P 1 ‖
=
3.701534591526215018437 · 10 -16
dist ( P , Δ )
=
0.00009611423351077027294014 ± 4.4 · 10 -17
Degree 6, ⟨6 ∐ 1⟨2⟩⟩ (EM-2 curve) 🟢Copy python definition
P
=
0.00589370417177452 ⁢ x 6 - 0.00810722420831899 ⁢ x 5 ⁢ y - 0.10447541397529 ⁢ x 5 ⁢ z - 0.13246170003432 ⁢ x 4 ⁢ y 2 + 0.507503425686876 ⁢ x 4 ⁢ y ⁢ z + 0.48496566263209 ⁢ x 4 ⁢ z 2 - 0.340529737547038 ⁢ x 3 ⁢ y 3 + 1.06649896955336 ⁢ x 3 ⁢ y 2 ⁢ z - 4.25866713675959 ⁢ x 3 ⁢ y ⁢ z 2 - 0.102094774223009 ⁢ x 3 ⁢ z 3 - 0.387024873194602 ⁢ x 2 ⁢ y 4 + 0.82973870683771 ⁢ x 2 ⁢ y 3 ⁢ z + 6.87333566012994 ⁢ x 2 ⁢ y 2 ⁢ z 2 + 0.500807048068058 ⁢ x 2 ⁢ y ⁢ z 3 - 0.021632585240089 ⁢ x 2 ⁢ z 4 - 0.198554452044143 ⁢ x ⁢ y 5 + 1.15205593386011 ⁢ x ⁢ y 4 ⁢ z + 1.04043383730238 ⁢ x ⁢ y 3 ⁢ z 2 + 0.961863155460903 ⁢ x ⁢ y 2 ⁢ z 3 + 0.157899579839491 ⁢ x ⁢ y ⁢ z 4 + 0.000589006101698443 ⁢ x ⁢ z 5 - 0.0260996888277111 ⁢ y 6 + 0.200758307624054 ⁢ y 5 ⁢ z - 0.0915693420332 ⁢ y 4 ⁢ z 2 + 0.169052103282536 ⁢ y 3 ⁢ z 3 + 0.0328301791661001 ⁢ y 2 ⁢ z 4 + 0.000389369942468445 ⁢ y ⁢ z 5 - 0.000247824170496405 ⁢ z 6
≃
87.66646864564133967407 ⁢ - x - 0.1507293597227276952201 ⁢ y - 0.1157839790016475252289 ⁢ z 6 + 265.6957559909633296016 ⁢ - x + 0.065650241518947071828 ⁢ y - 0.0859866326669048964606 ⁢ z 6 - 153.7999933798103593101 ⁢ - x + 0.3279036352493385149154 ⁢ y - 0.03357610317218884702966 ⁢ z 6 + 56.51911811773487533917 ⁢ - x + 0.7048539152754089039994 ⁢ y + 0.002037252838309579270864 ⁢ z 6 - 50.83277840913819544554 ⁢ - 0.7755717129177099727248 ⁢ x + y + 0.04441005916920915745317 ⁢ z 6 - 124.6938202985261106282 ⁢ - 0.2149458091187146144034 ⁢ x - 0.3078411813492471006455 ⁢ y + z 6 + 83.66722354267773963712 ⁢ - 0.1954058467210668898676 ⁢ x + y + 0.1191397881834638853994 ⁢ z 6 + 127.02202342069828286 ⁢ - 0.1951164913941355558577 ⁢ x + y + 0.4034946388763416214009 ⁢ z 6 - 107.2131512627209183429 ⁢ - 0.1472917695691492199013 ⁢ x - 0.02571699358497896138242 ⁢ y + z 6 + 22.36546402489446321938 ⁢ - 0.1292507806402819707198 ⁢ x + 0.671894154008624656853 ⁢ y + z 6 + 406.7913764011825171958 ⁢ - 0.09415465369625705064322 ⁢ x - 0.1364706990341131093822 ⁢ y + z 6 - 121.2378219049532003115 ⁢ - 0.0008313540981224980538622 ⁢ x - 0.004069789319835573878709 ⁢ y + z 6 - 106.9836117662367414535 ⁢ 0.02802591735275618142236 ⁢ x - 0.1493366314922560001229 ⁢ y + z 6 - 28.15423506287319001111 ⁢ 0.1751266439942546998774 ⁢ x - y - 0.7963553267184028747649 ⁢ z 6 - 301.3127160309538666799 ⁢ 0.2514791432050271865961 ⁢ x - y - 0.1823871641707819966009 ⁢ z 6 + 22.00298558166379189693 ⁢ 0.3299484396081005613924 ⁢ x + 0.4709992882946424591097 ⁢ y - z 6 + 160.6497480531579803449 ⁢ 0.4325505542742250263193 ⁢ x - y - 0.09660458117281437004966 ⁢ z 6 + 22.14541879693895914916 ⁢ 0.6800810289776988237387 ⁢ x + 0.1023913279096786582978 ⁢ y + z 6 - 353.1992244036750545862 ⁢ x + 0.09638920334209254978348 ⁢ y + 0.1750846373868174072439 ⁢ z 6 + 133.6307590682774476811 ⁢ x + 0.1503574351733348949438 ⁢ y + 0.3976667330107091116902 ⁢ z 6 - 28.63718263211169353803 ⁢ x + 0.1692261177187930400198 ⁢ y + 0.7917080778383553338454 ⁢ z 6
‖ P ‖
=
1.0
‖ P - P 1 ‖
=
8.970496853187705608646 · 10 -16
dist ( P , Δ )
=
0.0002488484400222630224711 ± 1.4 · 10 -17
Degree 6, ⟨2 ∐ 1⟨6⟩⟩ (EM-2 curve) 🟡Copy python definition
P
=
- 0.396663870421845 ⁢ x 6 + 0.21640136821548 ⁢ x 5 ⁢ y - 0.0109419425863456 ⁢ x 5 ⁢ z - 0.817302526479211 ⁢ x 4 ⁢ y 2 + 0.480727148033585 ⁢ x 4 ⁢ y ⁢ z + 1.27206642925114 ⁢ x 4 ⁢ z 2 + 0.0508999223953165 ⁢ x 3 ⁢ y 3 - 0.175349776021781 ⁢ x 3 ⁢ y 2 ⁢ z - 0.451149966359067 ⁢ x 3 ⁢ y ⁢ z 2 + 0.0232569761630186 ⁢ x 3 ⁢ z 3 - 0.163029808841434 ⁢ x 2 ⁢ y 4 + 1.04638338228826 ⁢ x 2 ⁢ y 3 ⁢ z + 1.51195475956507 ⁢ x 2 ⁢ y 2 ⁢ z 2 - 1.04470250583701 ⁢ x 2 ⁢ y ⁢ z 3 - 1.35783369451186 ⁢ x 2 ⁢ z 4 - 0.234906246896497 ⁢ x ⁢ y 5 - 0.16662769621355 ⁢ x ⁢ y 4 ⁢ z + 0.0221136877114046 ⁢ x ⁢ y 3 ⁢ z 2 + 0.181835573825952 ⁢ x ⁢ y 2 ⁢ z 3 + 0.235225289182254 ⁢ x ⁢ y ⁢ z 4 - 0.0123739559359578 ⁢ x ⁢ z 5 + 0.194998705706449 ⁢ y 6 + 0.566460762192212 ⁢ y 5 ⁢ z - 0.0075389028994482 ⁢ y 4 ⁢ z 2 - 1.13007440315571 ⁢ y 3 ⁢ z 3 - 0.670730783712748 ⁢ y 2 ⁢ z 4 + 0.566435465154484 ⁢ y ⁢ z 5 + 0.482446648620436 ⁢ z 6
≃
- 17235.78104699570293473447 ⁢ - x - 0.2851841792468901466164228 ⁢ y - 0.9466525988899391577200791 ⁢ z 6 + 5899.186159204703864722619 ⁢ - x - 0.1537138956698187087281564 ⁢ y - 0.9312014362521081371866965 ⁢ z 6 + 11386.0057152624567782707 ⁢ - x + 0.06854216572956906567952428 ⁢ y + 0.9683731905951183589236783 ⁢ z 6 + 15282.44910132815415039056 ⁢ - 0.9548768722027601019074167 ⁢ x + 0.3723098942956923570212882 ⁢ y + z 6 + 8332.79310063802901769469 ⁢ - 0.9524616191849832204727064 ⁢ x - 0.6088550471512390858715661 ⁢ y - z 6 - 12283.77805358791429886764 ⁢ - 0.7738609928751662362447604 ⁢ x + 0.6246203299665835452853354 ⁢ y + z 6 - 7005.341876830503662653868 ⁢ - 0.6889837205598905521157403 ⁢ x - 0.8815560402753638775140902 ⁢ y - z 6 + 17902.62673388210327959808 ⁢ - 0.6691231242757296513154339 ⁢ x + 0.6996944209205973014384501 ⁢ y - z 6 + 10250.59896621212295068646 ⁢ - 0.4826816020533194278651224 ⁢ x + 0.854600981819704456623873 ⁢ y + z 6 - 8637.513759236634518120618 ⁢ - 0.1074991467068560466435651 ⁢ x + y + 0.9985571075818118589669307 ⁢ z 6 + 8228.001358636306327540664 ⁢ 0.3006376799025245188684201 ⁢ x + y + 0.9806010843155804926650267 ⁢ z 6 - 1178.711579137469231076519 ⁢ 0.4249775146433635344137617 ⁢ x - y + 0.9217325980973065315506236 ⁢ z 6 + 3450.569190891388066518074 ⁢ 0.5069223619506646982646841 ⁢ x - 0.9772348022780100016635431 ⁢ y + z 6 - 9242.362451691050389456619 ⁢ 0.5827266931497678686261168 ⁢ x - 0.8368117392224609922490641 ⁢ y + z 6 - 5161.022078622623169989155 ⁢ 0.6585249967682479015943296 ⁢ x - 0.682249366830989123122004 ⁢ y + z 6 - 7176.85403354022042366776 ⁢ 0.771066115395020367890421 ⁢ x - 0.5732827026747682488694338 ⁢ y + z 6 - 24264.08468939870918547297 ⁢ x - 0.1699662094439660390551409 ⁢ y - 0.9706045077988005008011373 ⁢ z 6 + 6651.727835992715249056793 ⁢ x - 0.1176627272258781352437861 ⁢ y - 0.9485086878956505224980934 ⁢ z 6 - 2784.698770358048095086016 ⁢ x + 0.001988443429663307070758101 ⁢ y - 0.9833693350705429068603123 ⁢ z 6 + 6426.084880811371644254234 ⁢ x + 0.113795140982637392991505 ⁢ y + 0.9509181896889256582375056 ⁢ z 6
‖ P ‖
=
1.0
‖ P - P 1 ‖
=
1.563486337576989874767171 · 10 -11
dist ( P , Δ )
=
0.0000006564983740133337636567442 ± 2.2 · 10 -17
Degree 6, ⟨1 ∐ 1⟨9⟩⟩ (Hilbert's M curve) 🟢Copy python definition
P
=
- 0.463676008413115 ⁢ x 6 + 1.26390330377364 · 10 -8 ⁢ x 5 ⁢ y - 4.63257086820353 · 10 -7 ⁢ x 5 ⁢ z - 0.650659383368547 ⁢ x 4 ⁢ y 2 + 0.262615746075259 ⁢ x 4 ⁢ y ⁢ z + 1.46209055277665 ⁢ x 4 ⁢ z 2 - 8.65065554707418 · 10 -9 ⁢ x 3 ⁢ y 3 - 4.63703003390089 · 10 -7 ⁢ x 3 ⁢ y 2 ⁢ z + 1.38303903248024 · 10 -7 ⁢ x 3 ⁢ y ⁢ z 2 + 9.72574226759599 · 10 -7 ⁢ x 3 ⁢ z 3 - 0.117427822291915 ⁢ x 2 ⁢ y 4 + 0.704813684540312 ⁢ x 2 ⁢ y 3 ⁢ z + 1.66715542428863 ⁢ x 2 ⁢ y 2 ⁢ z 2 - 0.445952509119675 ⁢ x 2 ⁢ y ⁢ z 3 - 1.52545873396788 ⁢ x 2 ⁢ z 4 - 1.60444576368352 · 10 -8 ⁢ x ⁢ y 5 - 7.21090619761633 · 10 -8 ⁢ x ⁢ y 4 ⁢ z + 2.24607818138239 · 10 -7 ⁢ x ⁢ y 3 ⁢ z 2 + 5.80365292711414 · 10 -7 ⁢ x ⁢ y 2 ⁢ z 3 - 1.2530094535893 · 10 -7 ⁢ x ⁢ y ⁢ z 4 - 5.06804485221378 · 10 -7 ⁢ x ⁢ z 5 + 0.0855830564465105 ⁢ y 6 + 0.405460169459421 ⁢ y 5 ⁢ z + 0.407757382820572 ⁢ y 4 ⁢ z 2 - 0.600021803746839 ⁢ y 3 ⁢ z 3 - 0.994311051098061 ⁢ y 2 ⁢ z 4 + 0.186036994408672 ⁢ y ⁢ z 5 + 0.527208683439629 ⁢ z 6
≃
1850555.33531871767872576778 ⁢ - 0.987851014885905556112132088 ⁢ x - 0.106139848843755440937596419 ⁢ y + z 6 - 2374262.60452713702992949187 ⁢ - 0.980532959723679492697858044 ⁢ x - 0.260438506345591706450492045 ⁢ y + z 6 + 574945.970085544882459069942 ⁢ - 0.977062516154462552470284354 ⁢ x + 0.30143858863936072045498432 ⁢ y - z 6 + 1019052.94417849084735622131 ⁢ - 0.967090225033569233549743316 ⁢ x + 0.327324104803203692374806041 ⁢ y - z 6 - 1494724.01187274258520413641 ⁢ - 0.956483498679631273516771421 ⁢ x - 0.132187301948753472369365336 ⁢ y - z 6 - 251102.793085081304267999897 ⁢ - 0.954196444521114759678632058 ⁢ x + 0.368561915919026973492572624 ⁢ y - z 6 + 1250246.14653578283951981878 ⁢ - 0.848183630165365173823307262 ⁢ x + 0.411728060938907547077948515 ⁢ y + z 6 - 1080725.46149209752927984505 ⁢ - 0.643485826161730270419067755 ⁢ x + 0.675414091581846399692258685 ⁢ y + z 6 - 1080726.14787067089074780741 ⁢ - 0.643485624785716935678759652 ⁢ x - 0.675413990329890005506787027 ⁢ y - z 6 + 976119.653393515255634480123 ⁢ - 0.349228101934146883553936377 ⁢ x - 0.865220308762646925545633402 ⁢ y - z 6 - 940224.535310894976997853716 ⁢ 0.0000000606365882411177047991768419 ⁢ x - 0.934658609081793445505550325 ⁢ y - z 6 - 5257.9847457654571954799101 ⁢ 0.0000000686626322520361584348302571 ⁢ x + y - 0.553685855372668448014504131 ⁢ z 6 + 5465.53453057965344065469568 ⁢ 0.0000000690898645192630566318318138 ⁢ x + y - 0.558880262824078914522898743 ⁢ z 6 + 976119.316942738973013719322 ⁢ 0.349228246480645719652314676 ⁢ x - 0.865220374617217823073663835 ⁢ y - z 6 + 1250247.19316969994434407125 ⁢ 0.848183366367290820176171714 ⁢ x + 0.411727964268361509828039234 ⁢ y + z 6 - 251102.556602864720486955712 ⁢ 0.954196775835579215055329061 ⁢ x + 0.36856192964203889893423908 ⁢ y - z 6 - 1494722.60080573586348237709 ⁢ 0.956483807555469958027849788 ⁢ x - 0.132187366980091253029061461 ⁢ y - z 6 + 1019051.97149199073769497642 ⁢ 0.967090558515994396613033063 ⁢ x + 0.327324112151395466322696239 ⁢ y - z 6 + 574945.415640468883848205288 ⁢ 0.977062851629009230847908183 ⁢ x + 0.301438591902903056612236266 ⁢ y - z 6 - 2374264.90226438229688327137 ⁢ 0.980532625027766375790344971 ⁢ x - 0.260438509683555456262138873 ⁢ y + z 6 + 1850557.13959460227201631055 ⁢ 0.987850684956087150871777874 ⁢ x - 0.106139877279932824579427874 ⁢ y + z 6
‖ P ‖
=
1.0
‖ P - P 1 ‖
=
6.98840116117683748992644576 · 10 -17
dist ( P , Δ )
=
5.82146442783478375870245282 · 10 -9 ± 2.6 · 10 -17
Degree 6, ⟨5 ∐ 1⟨5⟩⟩ (Gudkov's M curve) 🟢Copy python definition
P
=
- 0.00132990000822424 ⁢ y 6 - 0.0616200461333061 ⁢ y 5 ⁢ 0.707106781186547524400844362105 ⁢ x - 0.707106781186547524400844362105 ⁢ z + 0.00104567643964428 ⁢ y 5 ⁢ 0.707106781186547524400844362105 ⁢ x + 0.707106781186547524400844362105 ⁢ z + 0.0423766780436503 ⁢ y 4 ⁢ 0.707106781186547524400844362105 ⁢ x - 0.707106781186547524400844362105 ⁢ z ⁢ 0.707106781186547524400844362105 ⁢ x + 0.707106781186547524400844362105 ⁢ z - 0.00223803203245656265329976974954 ⁢ y 4 ⁢ x - z 2 + 0.000244121531585367849579923382741 ⁢ y 4 ⁢ x + z 2 + 0.0285392824519227691903999755141 ⁢ y 3 ⁢ 0.707106781186547524400844362105 ⁢ x - 0.707106781186547524400844362105 ⁢ z ⁢ x + z 2 - 0.12925458496204814129448834592 ⁢ y 3 ⁢ 0.707106781186547524400844362105 ⁢ x + 0.707106781186547524400844362105 ⁢ z ⁢ x - z 2 + 0.000389754482938959525133847046016 ⁢ y 3 ⁢ x - z 3 + 0.000124842074475882852056131479617 ⁢ y 3 ⁢ x + z 3 + 0.0124919547764453464109096998163 ⁢ y 2 ⁢ 0.707106781186547524400844362105 ⁢ x - 0.707106781186547524400844362105 ⁢ z ⁢ x + z 3 - 0.00354416617249992576772138111049 ⁢ y 2 ⁢ 0.707106781186547524400844362105 ⁢ x + 0.707106781186547524400844362105 ⁢ z ⁢ x - z 3 + 0.00000242636930582478404659543119726 ⁢ y 2 ⁢ x - z 4 + 0.394230632890865184680961874619 ⁢ y 2 ⁢ x - z 2 ⁢ x + z 2 + 0.00000440611823967971157599027992591 ⁢ y 2 ⁢ x + z 4 + 0.000427153819177914190023670482077 ⁢ y ⁢ 0.707106781186547524400844362105 ⁢ x - 0.707106781186547524400844362105 ⁢ z ⁢ x + z 4 + 0.000189092943319493398627445523985 ⁢ y ⁢ 0.707106781186547524400844362105 ⁢ x + 0.707106781186547524400844362105 ⁢ z ⁢ x - z 4 - 0.000000247042452224817412433703003204 ⁢ y ⁢ x - z 5 - 0.0165983876059155323147168928308 ⁢ y ⁢ x - z 3 ⁢ x + z 2 + 0.172673791645410065331194659611 ⁢ y ⁢ x - z 2 ⁢ x + z 3 - 0.0000000363005780728571624794169484397 ⁢ y ⁢ x + z 5 - 0.00000166047194284043445679732716461 ⁢ 0.707106781186547524400844362105 ⁢ x - 0.707106781186547524400844362105 ⁢ z ⁢ x + z 5 + 0.0000225364436888175191844757124224 ⁢ 0.707106781186547524400844362105 ⁢ x + 0.707106781186547524400844362105 ⁢ z ⁢ x - z 5 - 0.0000000161812343280988403633336293434 ⁢ x - z 6 - 0.00515590206634466020202411939977 ⁢ x - z 4 ⁢ x + z 2 + 0.546067270146320171697595924343 ⁢ x - z 3 ⁢ x + z 3 + 0.00518676318548150563914056476733 ⁢ x - z 2 ⁢ x + z 4 + 6.84766574026006639940924253017 · 10 -11 ⁢ x + z 6
≃
- 167462140.321176701583652489132 ⁢ - x - 0.0841817828027667998013392961308 ⁢ y + 0.997485287857214101376916696201 ⁢ z 6 + 55055739.9501972194156296177312 ⁢ - x + 0.114364481107367551732842941469 ⁢ y - 0.996212862730053857147131461678 ⁢ z 6 - 8280847.7360865321364889243944 ⁢ - 0.981637388246154630186503873753 ⁢ x - 0.608825284266300590089525078996 ⁢ y - z 6 - 70142245.4512914168820429031835 ⁢ - 0.979707711316297963576049017957 ⁢ x - 0.253739208032426041478352424778 ⁢ y + z 6 + 1862150.55171690285025281278593 ⁢ - 0.97900135498655133776371225856 ⁢ x - 0.696336260628075677058575824432 ⁢ y - z 6 + 38643974.7174452970042259593978 ⁢ - 0.959486200702161240283936700576 ⁢ x - 0.351627944323446397268378043049 ⁢ y + z 6 - 16838923.7252090821141439953013 ⁢ - 0.937663269997385300680537406413 ⁢ x - 0.437809661375089231717735299376 ⁢ y + z 6 + 4147402.57405932621001633301867 ⁢ - 0.920482049980398491352772998286 ⁢ x - 0.497097510591201133054486160271 ⁢ y + z 6 + 21347925.5652220917814409591214 ⁢ 0.985538655028765658353322541713 ⁢ x + 0.48252183183334366208273910617 ⁢ y + z 6 - 43159828.9194993573114315403831 ⁢ 0.990012953172638185336852294883 ⁢ x + 0.337758659905169118211280524351 ⁢ y + z 6 + 111921653.018760414725990086373 ⁢ 0.994346300208977238119674610775 ⁢ x + 0.160049406947371112625592154293 ⁢ y - z 6 + 74322732.0203905853617009877828 ⁢ 0.99438795537665266811902468899 ⁢ x + 0.193089178153952863624172832055 ⁢ y + z 6 - 113859450.916217918569333495353 ⁢ 0.998242726986911135550978449745 ⁢ x + 0.0641542699349463333893876386532 ⁢ y + z 6 - 24090665.934844113584111080236 ⁢ x - 0.146840460784293085682587852068 ⁢ y + 0.992610038479574302394103475322 ⁢ z 6 + 97398696.9951930851082333271693 ⁢ x - 0.127664630869451728516467679197 ⁢ y + 0.994391918381327075311969256048 ⁢ z 6 - 223256453.985527753571557141228 ⁢ x - 0.0988875479900851276194391345382 ⁢ y + 0.996313881033065652189556837229 ⁢ z 6 + 162547806.184808119971082792091 ⁢ x - 0.0361740380194784057704085566612 ⁢ y + 0.998602810810778317617163788778 ⁢ z 6 + 26165484.2858941698483452614031 ⁢ x - 0.00254821474123598904155948467865 ⁢ y - 0.99464857619524777621020267677 ⁢ z 6 - 105380059.313954612248478721823 ⁢ x + 0.0130316203394396028769926166129 ⁢ y - 0.994109953477023694216423270649 ⁢ z 6 - 59617163.0160084518612508197032 ⁢ x + 0.0242030510843510414704556666324 ⁢ y - 0.993232004268181654090580090746 ⁢ z 6 + 238909354.144697984766328907855 ⁢ x + 0.0358420066614339162037169348755 ⁢ y - 0.994282639841816167146782195051 ⁢ z 6
‖ P ‖
=
1.00000000000000015344142921732
‖ P - P 1 ‖
=
1.56879735402602020685295966417 · 10 -16
dist ( P , Δ )
=
7.38323798474677818443979735078 · 10 -11 ± 8.0 · 10 -21
Degree 7, ⟨𝐽 ∐ 15⟩ (Harnack's M curve) 🟢Copy python definition
P
=
- 1.74415402874978 · 10 -10 ⁢ x 7 + 0.193985061996207 ⁢ x 6 ⁢ y - 0.0674698195570194 ⁢ x 6 ⁢ z + 1.47457241517702 · 10 -8 ⁢ x 5 ⁢ y 2 - 3.34288587749802 · 10 -8 ⁢ x 5 ⁢ y ⁢ z + 1.01491178382314 · 10 -8 ⁢ x 5 ⁢ z 2 + 3.19653872230425 ⁢ x 4 ⁢ y 3 - 0.537105063338043 ⁢ x 4 ⁢ y 2 ⁢ z - 1.12612133763269 ⁢ x 4 ⁢ y ⁢ z 2 + 0.322178912498801 ⁢ x 4 ⁢ z 3 - 6.16682520044354 · 10 -8 ⁢ x 3 ⁢ y 4 - 2.28770197209962 · 10 -7 ⁢ x 3 ⁢ y 3 ⁢ z + 1.98897825628962 · 10 -8 ⁢ x 3 ⁢ y 2 ⁢ z 2 + 1.10575615971594 · 10 -7 ⁢ x 3 ⁢ y ⁢ z 3 - 3.04774765965544 · 10 -8 ⁢ x 3 ⁢ z 4 - 0.412696946812073 ⁢ x 2 ⁢ y 5 - 2.87922246275859 ⁢ x 2 ⁢ y 4 ⁢ z - 4.69434441310397 ⁢ x 2 ⁢ y 3 ⁢ z 2 + 0.79744414055892 ⁢ x 2 ⁢ y 2 ⁢ z 3 + 1.81877730525204 ⁢ x 2 ⁢ y ⁢ z 4 - 0.487300026163997 ⁢ x 2 ⁢ z 5 + 3.89755112946603 · 10 -9 ⁢ x ⁢ y 6 + 4.20794560514053 · 10 -8 ⁢ x ⁢ y 5 ⁢ z + 1.50063760088956 · 10 -7 ⁢ x ⁢ y 4 ⁢ z 2 + 1.73813500346809 · 10 -7 ⁢ x ⁢ y 3 ⁢ z 3 - 3.22693680864886 · 10 -8 ⁢ x ⁢ y 2 ⁢ z 4 - 7.91808693362777 · 10 -8 ⁢ x ⁢ y ⁢ z 5 + 2.17225891352177 · 10 -8 ⁢ x ⁢ z 6 + 0.0132679769536452 ⁢ y 7 + 0.187064674904409 ⁢ y 6 ⁢ z + 0.978383145670196 ⁢ y 5 ⁢ z 2 + 2.24737285428712 ⁢ y 4 ⁢ z 3 + 1.84740166166103 ⁢ y 3 ⁢ z 4 - 0.46881063416948 ⁢ y 2 ⁢ z 5 - 0.81032990850427 ⁢ y ⁢ z 6 + 0.222620135268147 ⁢ z 7
≃
737.583632249725877922106 ⁢ - x - 0.7430393317874477789192 ⁢ y - 0.8783032079440896723802 ⁢ z 7 - 522.166745110871534332099 ⁢ - x - 0.345201971887186757688792 ⁢ y - 0.992400308938238450847721 ⁢ z 7 + 13.5338736804438272108341 ⁢ - x - 0.032544020329245999475341 ⁢ y + 0.702663067722345839900194 ⁢ z 7 + 1392.08351380700445739413 ⁢ - x + 0.496890579078654594886053 ⁢ y + 0.950997197283469082170708 ⁢ z 7 - 737.583529677060280996719 ⁢ - x + 0.743039351238252417263789 ⁢ y + 0.878303244045156127144227 ⁢ z 7 + 2712.37399705287891175064 ⁢ - 0.810561602964861236527234 ⁢ x + 0.347844590607047120409006 ⁢ y + z 7 - 2776.33933459518796115043 ⁢ - 0.571963633287207716347078 ⁢ x + y + 0.350841178780400211176522 ⁢ z 7 - 4023.11923601468166064837 ⁢ - 0.558694059828629659752311 ⁢ x + 0.344795883897282020108047 ⁢ y + z 7 - 7031.52375360478748348248 ⁢ - 0.355160749944217022218366 ⁢ x - y - 0.112982103724865975264171 ⁢ z 7 + 5877.09335304817717709326 ⁢ - 0.278905248244801235366719 ⁢ x + 0.347843056650947065641545 ⁢ y + z 7 + 12224.3119313938492766935 ⁢ - 0.192898240460801982842019 ⁢ x - y + 0.0670226346514183292531303 ⁢ z 7 - 17593.4136549058751564525 ⁢ - 0.0754484589178065130048167 ⁢ x - y + 0.19095631764005904426417 ⁢ z 7 + 6816.4262086221959207539 ⁢ - 1.01449680877731271488031 · 10 -8 ⁢ x - 0.349255322568968955579317 ⁢ y - z 7 + 5486.17016256516551167844 ⁢ - 2.00869668293423156226093 · 10 -10 ⁢ x + y - 0.272939103913952872448434 ⁢ z 7 + 25906.5374312034528745542 ⁢ - 1.01336532310860083546528 · 10 -10 ⁢ x - y + 0.240534781256189021570316 ⁢ z 7 - 15.7168985315477461884406 ⁢ 3.78709129858557151628194 · 10 -9 ⁢ x - y + 0.657474836793920856895284 ⁢ z 7 - 17593.4136984766606689627 ⁢ 0.0754484577636922460966513 ⁢ x - y + 0.190956316165219462095674 ⁢ z 7 + 12224.3120087950311132039 ⁢ 0.192898236847259869017996 ⁢ x - y + 0.0670226309928145783016208 ⁢ z 7 + 5877.09313903143764815481 ⁢ 0.278905269979036241087271 ⁢ x + 0.347843057152659693078279 ⁢ y + z 7 - 7031.52383557750175703877 ⁢ 0.355160742556181711798671 ⁢ x - y - 0.112982110161238846998282 ⁢ z 7 - 4023.1189425435335787873 ⁢ 0.558694085919739795318808 ⁢ x + 0.344795884870542444061626 ⁢ y + z 7 - 2776.33928247141214495846 ⁢ 0.571963646054381875496642 ⁢ x + y + 0.350841169052981428518166 ⁢ z 7 + 2712.37370999858769567625 ⁢ 0.810561635502876765418596 ⁢ x + 0.347844592065160428261279 ⁢ y + z 7 - 661.484304215640092329288 ⁢ 0.878865467022532596709758 ⁢ x - y - 0.682048508368015631468337 ⁢ z 7 + 661.484285133070808973137 ⁢ 0.878865488055371175762438 ⁢ x + y + 0.682048494786057242573682 ⁢ z 7 + 2379.42098829348197721524 ⁢ 0.973785922083014070403365 ⁢ x - 0.379977871411113311314881 ⁢ y - z 7 - 2379.42068576712383386505 ⁢ 0.973785960204145883455996 ⁢ x + 0.379977873746494947744039 ⁢ y + z 7 - 522.166671535363017454661 ⁢ x - 0.345201983524998599589661 ⁢ y - 0.992400347566657150202895 ⁢ z 7 + 13.5338749076322683399112 ⁢ x - 0.0325440245968627515113304 ⁢ y + 0.702663039968101975813966 ⁢ z 7 + 1392.08370936341937722393 ⁢ x + 0.496890564417769086891484 ⁢ y + 0.950997159546439708772479 ⁢ z 7
‖ P ‖
=
1.0
‖ P - P 1 ‖
=
9.3661690299577384587753 · 10 -17
dist ( P , Δ )
=
0.00000238287955329906566192218 ± 2.8 · 10 -17
Degree 8, ⟨18 ∐ 1⟨3⟩⟩ (Harnack's M curve) 🟢Copy python definition
P
=
3.42639808625191 · 10 -8 ⁢ x 8 - 5.20218194718691 · 10 -9 ⁢ x 7 ⁢ y - 3.34927900961968 · 10 -9 ⁢ x 7 ⁢ z + 2.14927084494929 ⁢ x 6 ⁢ y 2 + 2.76750793316963 ⁢ x 6 ⁢ y ⁢ z + 0.890891344032204 ⁢ x 6 ⁢ z 2 - 8.7090761580403 · 10 -9 ⁢ x 5 ⁢ y 3 + 1.99506657847714 · 10 -8 ⁢ x 5 ⁢ y 2 ⁢ z + 5.118016639116 · 10 -8 ⁢ x 5 ⁢ y ⁢ z 2 + 2.23976367917429 · 10 -8 ⁢ x 5 ⁢ z 3 + 0.716423769876259 ⁢ x 4 ⁢ y 4 + 4.6125132170289 ⁢ x 4 ⁢ y 3 ⁢ z + 1.14924961321223 ⁢ x 4 ⁢ y 2 ⁢ z 2 - 3.52509693886025 ⁢ x 4 ⁢ y ⁢ z 3 - 1.63800689164346 ⁢ x 4 ⁢ z 4 - 1.75990922440709 · 10 -9 ⁢ x 3 ⁢ y 5 - 8.52627334429744 · 10 -9 ⁢ x 3 ⁢ y 4 ⁢ z + 4.80459271614805 · 10 -8 ⁢ x 3 ⁢ y 3 ⁢ z 2 + 3.33511890999359 · 10 -8 ⁢ x 3 ⁢ y 2 ⁢ z 3 - 3.73752474256241 · 10 -8 ⁢ x 3 ⁢ y ⁢ z 4 - 2.39056725244219 · 10 -8 ⁢ x 3 ⁢ z 5 - 1.194039148444 ⁢ x 2 ⁢ y 6 + 0.922502623527613 ⁢ x 2 ⁢ y 5 ⁢ z + 3.68829033047973 ⁢ x 2 ⁢ y 4 ⁢ z 2 - 2.35006459612284 ⁢ x 2 ⁢ y 3 ⁢ z 3 - 3.27601379108108 ⁢ x 2 ⁢ y 2 ⁢ z 4 + 1.14917690065212 ⁢ x 2 ⁢ y ⁢ z 5 + 1.02387845537451 ⁢ x 2 ⁢ z 6 + 1.74698495308752 · 10 -9 ⁢ x ⁢ y 7 - 7.23401247549844 · 10 -9 ⁢ x ⁢ y 6 ⁢ z - 3.17088271888009 · 10 -9 ⁢ x ⁢ y 5 ⁢ z 2 + 2.62547268472772 · 10 -8 ⁢ x ⁢ y 4 ⁢ z 3 - 5.24450473680407 · 10 -9 ⁢ x ⁢ y 3 ⁢ z 4 - 2.39160381153039 · 10 -8 ⁢ x ⁢ y 2 ⁢ z 5 + 4.32834637838548 · 10 -9 ⁢ x ⁢ y ⁢ z 6 + 7.1086594668879 · 10 -9 ⁢ x ⁢ z 7 + 0.23880789236505 ⁢ y 8 - 0.922502642618129 ⁢ y 7 ⁢ z + 0.721621944432765 ⁢ y 6 ⁢ z 2 + 1.17503233171612 ⁢ y 5 ⁢ z 3 - 1.63800687629417 ⁢ y 4 ⁢ z 4 - 0.383058989845222 ⁢ y 3 ⁢ z 5 + 1.02387845225685 ⁢ y 2 ⁢ z 6 + 5.12029721743252 · 10 -9 ⁢ y ⁢ z 7 - 0.215868035709408 ⁢ z 8
≃
- 41092.753101152946135664631 ⁢ - x - 0.78377816208381896545425688 ⁢ y + 0.73965084069786299859205662 ⁢ z 8 + 101688.20790401539286398679 ⁢ - x - 0.51112945346182100011645246 ⁢ y + 0.79558758477653398332032514 ⁢ z 8 + 272236.89420214674728393621 ⁢ - x - 0.26866765768780414913863019 ⁢ y + 0.41818887756115697704011554 ⁢ z 8 + 272236.89076910931133645488 ⁢ - x + 0.2686676581158176183230246 ⁢ y - 0.41818888198682753313923478 ⁢ z 8 - 153180.37509889329580389426 ⁢ - x + 0.40222910364351236450615708 ⁢ y - 0.62747585878708633683521774 ⁢ z 8 + 101688.20546442076818924378 ⁢ - x + 0.51112945499913986400789293 ⁢ y - 0.79558759092887005607543752 ⁢ z 8 + 573.82086707385807197495238 ⁢ - 0.91247685013667526444729847 ⁢ x + 0.52681875750222005432955982 ⁢ y - z 8 + 158964.06012228293637267103 ⁢ - 0.57735026918661909382640946 ⁢ x + y + 2.6918972126833281548672355 · 10 -10 ⁢ z 8 - 243453.63867355946852148606 ⁢ - 0.41304212435818333218493726 ⁢ x + y + 0.22113039066831765695352774 ⁢ z 8 + 273020.24625132097104870222 ⁢ - 0.26723098646731015913584743 ⁢ x + y + 0.41803870815880216665364816 ⁢ z 8 - 257616.79657405273269001908 ⁢ - 0.14211761058350007712286153 ⁢ x + y + 0.58799771807245375231205929 ⁢ z 8 - 257616.79657273177327057023 ⁢ - 0.14211760837342227664952697 ⁢ x - y - 0.58799771860811310049052458 ⁢ z 8 + 254650.19728016590324178957 ⁢ - 0.05113178954334642829357377 ⁢ x + y + 0.70933897257945121066257308 ⁢ z 8 + 254650.19727969611471613688 ⁢ - 0.051131786876160487588622976 ⁢ x - y - 0.70933897277220140651781269 ⁢ z 8 + 62474.945637616317852239657 ⁢ - 1.4634015991045443396840104 · 10 -9 ⁢ x + y + 0.77826427910536737490115777 ⁢ z 8 - 327499.46033021113115662868 ⁢ 1.4204809541986528049259963 · 10 -9 ⁢ x - y - 0.75547339842913188206890986 ⁢ z 8 + 871.57773423290117543935187 ⁢ 1.78511270603536564397396 · 10 -9 ⁢ x - y - 0.9490930135373968937752746 ⁢ z 8 - 20.09668559988582227673035 ⁢ 1.8849436086770641560948949 · 10 -9 ⁢ x + 0.75651455491123575518210028 ⁢ y - z 8 + 273020.24624868858806716354 ⁢ 0.26723098489760975574256869 ⁢ x + y + 0.41803870916582490776881038 ⁢ z 8 - 243453.63866993137877067856 ⁢ 0.41304212353058060192301557 ⁢ x + y + 0.22113039222444255390801505 ⁢ z 8 + 158964.06011897158149883914 ⁢ 0.57735026919263243420661713 ⁢ x + y + 2.4437652668362515602945954 · 10 -9 ⁢ z 8 - 20.096686045729347223753604 ⁢ 0.65516081801184222361669681 ⁢ x + 0.37825727437047294989026441 ⁢ y + z 8 - 20.096685648997123923518326 ⁢ 0.65516082339331728810350926 ⁢ x - 0.37825727530683318645972632 ⁢ y - z 8 - 71304.952265795933478619423 ⁢ 0.76891747478018995264070886 ⁢ x - y + 0.25781637885680186933046808 ⁢ z 8 - 71304.95226381774881049035 ⁢ 0.76891747575842545799966033 ⁢ x + y - 0.25781637596158723009903623 ⁢ z 8 + 573.82085129689887742654548 ⁢ 0.91247685704154667331997448 ⁢ x + 0.52681875930868684148433881 ⁢ y - z 8 + 22606.251390899473160342848 ⁢ x - 0.9986604666328049374294719 ⁢ y + 0.57077150597894813267481413 ⁢ z 8 - 41092.752184156171237602758 ⁢ x - 0.78377816427460879780713969 ⁢ y + 0.73965084652752889889957734 ⁢ z 8 + 63398.411897559632777194184 ⁢ x - 0.64759982251797063795020648 ⁢ y + 0.84398946578576729645964656 ⁢ z 8 + 19767.46316725915625831158 ⁢ x - 0.57735027138875186166523813 ⁢ y + 0.89866218219140255852657055 ⁢ z 8 - 103622.87560667255350504408 ⁢ x - 0.57735027132444016546814445 ⁢ y + 0.87234553997136114343871012 ⁢ z 8 - 426329.31707296075435436071 ⁢ x - 0.13267026916534226112727953 ⁢ y + 0.20617325123822298269600597 ⁢ z 8 + 502404.93075161207419456861 ⁢ x - 2.2550045585050086749380026 · 10 -12 ⁢ y + 1.8832376649071639317685996 · 10 -9 ⁢ z 8 - 426329.31972351766144087686 ⁢ x + 0.13267026905772824209846286 ⁢ y - 0.20617324731152118406435103 ⁢ z 8 - 153180.37799729442944874343 ⁢ x + 0.4022291026876555552377843 ⁢ y - 0.62747585353651365246914212 ⁢ z 8 - 103622.87833259402512686151 ⁢ x + 0.57735026942144554479490381 ⁢ y - 0.87234553333637658745334096 ⁢ z 8 + 19767.463702940459802742603 ⁢ x + 0.57735026942852971433156211 ⁢ y - 0.89866217538080545153828046 ⁢ z 8 + 63398.413511321174950951057 ⁢ x + 0.64759982045293647284234237 ⁢ y - 0.84398945933389796666359291 ⁢ z 8 + 22606.251780504791963144767 ⁢ x + 0.99866046447687993375220631 ⁢ y - 0.57077150098285932219238387 ⁢ z 8
‖ P ‖
=
1.0
‖ P - P 1 ‖
=
7.1837734110860747196532771 · 10 -17
dist ( P , Δ )
=
3.4263980859463065386598227 · 10 -8 ± 1.9 · 10 -17
Degree 8, ⟨19⟩ (M-3 curve) 🟢Copy python definition
This curve has 43 quasi-critical points, but the rank of the corresponding family of 8th power of linear forms is only 41, hence the polynomial is written using only 41 independent 8th power of linear forms. The missing points appear clearly on the drawing.
P
=
0.0495589143528351 ⁢ x 8 - 0.00188018680131159 ⁢ x 7 ⁢ y - 0.000795119640932293 ⁢ x 7 ⁢ z - 0.98222967758031 ⁢ x 6 ⁢ y 2 - 0.512485805811381 ⁢ x 6 ⁢ y ⁢ z - 0.387887731197622 ⁢ x 6 ⁢ z 2 + 0.0196278020389989 ⁢ x 5 ⁢ y 3 + 0.0177437997933578 ⁢ x 5 ⁢ y 2 ⁢ z + 0.0131094554566617 ⁢ x 5 ⁢ y ⁢ z 2 + 0.00388115481719391 ⁢ x 5 ⁢ z 3 + 4.81286215768501 ⁢ x 4 ⁢ y 4 + 4.37041111569147 ⁢ x 4 ⁢ y 3 ⁢ z + 5.46367682835569 ⁢ x 4 ⁢ y 2 ⁢ z 2 + 2.26805542914645 ⁢ x 4 ⁢ y ⁢ z 3 + 0.96347855083981 ⁢ x 4 ⁢ z 4 - 0.0115396380424817 ⁢ x 3 ⁢ y 5 - 0.00891660576928047 ⁢ x 3 ⁢ y 4 ⁢ z - 0.0238949884583324 ⁢ x 3 ⁢ y 3 ⁢ z 2 - 0.0108324040428585 ⁢ x 3 ⁢ y 2 ⁢ z 3 - 0.0125477647548797 ⁢ x 3 ⁢ y ⁢ z 4 - 0.00487482221080735 ⁢ x 3 ⁢ z 5 + 0.245163497293747 ⁢ x 2 ⁢ y 6 + 3.32420020860353 ⁢ x 2 ⁢ y 5 ⁢ z - 1.75134056243491 ⁢ x 2 ⁢ y 4 ⁢ z 2 + 2.90577734180137 ⁢ x 2 ⁢ y 3 ⁢ z 3 - 1.78664997060123 ⁢ x 2 ⁢ y 2 ⁢ z 4 - 2.14515883780769 ⁢ x 2 ⁢ y ⁢ z 5 - 0.882233333049585 ⁢ x 2 ⁢ z 6 - 0.000352126771039669 ⁢ x ⁢ y 7 - 0.00481778746941958 ⁢ x ⁢ y 6 ⁢ z - 0.000622356910905359 ⁢ x ⁢ y 5 ⁢ z 2 - 0.00303919507158106 ⁢ x ⁢ y 4 ⁢ z 3 + 0.00499500693115176 ⁢ x ⁢ y 3 ⁢ z 4 - 0.000908018084730323 ⁢ x ⁢ y 2 ⁢ z 5 + 0.0030737225764952 ⁢ x ⁢ y ⁢ z 6 + 0.00177576523890042 ⁢ x ⁢ z 7 - 0.000593764825451007 ⁢ y 8 + 0.00802584243368985 ⁢ y 7 ⁢ z + 0.121879421524613 ⁢ y 6 ⁢ z 2 - 1.1278120374435 ⁢ y 5 ⁢ z 3 + 2.6700988140946 ⁢ y 4 ⁢ z 4 - 1.70424194371066 ⁢ y 3 ⁢ z 5 - 0.740965215107721 ⁢ y 2 ⁢ z 6 + 0.511633629359521 ⁢ y ⁢ z 7 + 0.262270902028137 ⁢ z 8
≃
1.390023128461474579 ⁢ - x - 0.514864672901870670517 ⁢ y + 0.694792149280820947404 ⁢ z 8 - 5.76856376174915765797 ⁢ - x - 0.367651952864542142082 ⁢ y + 0.449029247862737071282 ⁢ z 8 + 11.0189889580600322248 ⁢ - x - 0.348221060805872479425 ⁢ y + 0.162547771489192290354 ⁢ z 8 + 5.28914333657159287355 ⁢ - x - 0.0623240371443920724944 ⁢ y + 0.863300220608303397447 ⁢ z 8 - 13.6179238115978697977 ⁢ - x - 0.0133017772624531407553 ⁢ y + 0.580884258432679159669 ⁢ z 8 - 12.9799982438379493272 ⁢ - x + 0.0147305009770848275137 ⁢ y - 0.57992073239483549944 ⁢ z 8 - 15.0428544729854527006 ⁢ - x + 0.286420392192215051987 ⁢ y + 0.106533249699119379954 ⁢ z 8 - 8.21674557054554787186 ⁢ - 0.832142048755301378634 ⁢ x - 0.0523334213113831989111 ⁢ y - z 8 - 8.11552529248380784848 ⁢ - 0.830832358180963667038 ⁢ x + 0.053493992183472768816 ⁢ y + z 8 + 3.43594288028844556097 ⁢ - 0.693008211955235835485 ⁢ x - y + 0.596367698528421295515 ⁢ z 8 + 3.5179481547302908655 ⁢ - 0.691321266081178478422 ⁢ x + y - 0.595271246521781144432 ⁢ z 8 + 9.12166752574641419074 ⁢ - 0.627558131122870499815 ⁢ x - 0.333099558503366360046 ⁢ y - z 8 + 9.03462017052236159039 ⁢ - 0.626063742643032917838 ⁢ x + 0.33384616536963884814 ⁢ y + z 8 - 6.80361606701100434313 ⁢ - 0.42602969155936136302 ⁢ x + 0.616319883065497222444 ⁢ y + z 8 - 18.7234703598625914949 ⁢ - 0.381994900341736507673 ⁢ x - y + 0.317287446742690586326 ⁢ z 8 - 18.9774784807734199622 ⁢ - 0.380583277447180849589 ⁢ x + y - 0.316835905923849674503 ⁢ z 8 + 3.69781507743267734732 ⁢ - 0.215922762999589999033 ⁢ x - 0.895930219341788753721 ⁢ y - z 8 - 5.50865556312886726439 ⁢ - 0.0010471814359080330952 ⁢ x - y - 0.904757201368224393515 ⁢ z 8 - 100.113503296839096484 ⁢ - 0.000708485063682819988933 ⁢ x - y + 0.0238613644964277896563 ⁢ z 8 + 33.9217223339916592146 ⁢ 0.000769903958928277064165 ⁢ x + y + 0.144533490296711020538 ⁢ z 8 - 8.8617659631969015615 ⁢ 0.000852723761545914622879 ⁢ x + y + 0.371604143066634607299 ⁢ z 8 + 5.01134119110655147787 ⁢ 0.000949962549676449763213 ⁢ x + y + 0.638207955168146082825 ⁢ z 8 + 52.1382396941048274585 ⁢ 0.160693766253681369832 ⁢ x - y + 0.129247334735093325364 ⁢ z 8 + 51.8119431496453608733 ⁢ 0.162071164685063605015 ⁢ x + y - 0.129394992845831119458 ⁢ z 8 + 3.67917075679684490081 ⁢ 0.213874391306113097406 ⁢ x - 0.896098005017882744826 ⁢ y - z 8 - 6.85606322258123997565 ⁢ 0.427775829028201283447 ⁢ x + 0.615899406602238563444 ⁢ y + z 8 - 0.168158090550749774952 ⁢ 0.715322446548715959756 ⁢ x - 0.372214115513973854825 ⁢ y + z 8 + 2.19386791269369689742 ⁢ 0.828811689671995075658 ⁢ x + 0.195574543656054599001 ⁢ y - z 8 + 2.37200760180158879011 ⁢ 0.829761350398868711896 ⁢ x - 0.19688275752418034993 ⁢ y + z 8 + 0.0713041294826755666898 ⁢ 0.936821208170425277126 ⁢ x - 0.570529403619022106307 ⁢ y + z 8 - 0.980972440487592667718 ⁢ x - 0.834524192744189608891 ⁢ y + 0.869136844752565805157 ⁢ z 8 + 1.32947040636650824212 ⁢ x - 0.516419196823238992133 ⁢ y + 0.694224511242661041957 ⁢ z 8 - 5.07900564980871701715 ⁢ x - 0.369160421308773292273 ⁢ y + 0.448390027651836735607 ⁢ z 8 + 10.5872881566921501478 ⁢ x - 0.349788852778525302644 ⁢ y + 0.161880319012975976822 ⁢ z 8 + 2.53494813346077842487 ⁢ x - 0.220157481488407112402 ⁢ y + 0.590156923216909136977 ⁢ z 8 + 15.583818312096740699 ⁢ x - 0.159136773462445597936 ⁢ y - 0.351210389544920435209 ⁢ z 8 + 5.25385219757797448039 ⁢ x - 0.0637244489218174766948 ⁢ y + 0.862105839372452686507 ⁢ z 8 + 15.2447221886636640524 ⁢ x + 0.157625892024054788088 ⁢ y + 0.350311493330204895941 ⁢ z 8 + 3.25367506160861802164 ⁢ x + 0.218748564203778468505 ⁢ y - 0.590954896662565830591 ⁢ z 8 - 15.1015917993935178387 ⁢ x + 0.284846874561262385414 ⁢ y + 0.10575208127168468563 ⁢ z 8 - 0.953137039630366940463 ⁢ x + 0.832621710691360088755 ⁢ y - 0.869378162435763103742 ⁢ z 8
‖ P ‖
=
1.0
‖ P - P 1 ‖
=
1.37922513912681184877 · 10 -16
dist ( P , Δ )
=
0.00069817037013123745928 ± 1.2 · 10 -17
Degree 9 ⟨J U 28⟩ (Harnack's M curve) 🔴Copy python definition
P
=
- 6.47690131545843 · 10 -14 ⁢ x 9 - 0.000894699521756603 ⁢ x 8 ⁢ y - 0.000896140509912845 ⁢ x 8 ⁢ z - 3.09220644734732 · 10 -10 ⁢ x 7 ⁢ y 2 - 5.66814054893491 · 10 -10 ⁢ x 7 ⁢ y ⁢ z - 2.57068972868567 · 10 -10 ⁢ x 7 ⁢ z 2 - 1.51675134076296 ⁢ x 6 ⁢ y 3 - 4.20115750163369 ⁢ x 6 ⁢ y 2 ⁢ z - 3.84483992258021 ⁢ x 6 ⁢ y ⁢ z 2 - 1.16042305503365 ⁢ x 6 ⁢ z 3 - 2.98903753395465 · 10 -11 ⁢ x 5 ⁢ y 4 - 6.37583262041529 · 10 -10 ⁢ x 5 ⁢ y 3 ⁢ z + 6.4130497948779 · 10 -10 ⁢ x 5 ⁢ y 2 ⁢ z 2 + 2.52686110460851 · 10 -9 ⁢ x 5 ⁢ y ⁢ z 3 + 1.27602721429944 · 10 -9 ⁢ x 5 ⁢ z 4 + 1.51257607600666 ⁢ x 4 ⁢ y 5 - 1.40456782361952 ⁢ x 4 ⁢ y 4 ⁢ z - 6.40806653727669 ⁢ x 4 ⁢ y 3 ⁢ z 2 + 0.586067739569115 ⁢ x 4 ⁢ y 2 ⁢ z 3 + 7.18995079268125 ⁢ x 4 ⁢ y ⁢ z 4 + 3.11292954998475 ⁢ x 4 ⁢ z 5 + 1.22179986633867 · 10 -10 ⁢ x 3 ⁢ y 6 - 2.1265510462967 · 10 -10 ⁢ x 3 ⁢ y 5 ⁢ z - 1.11937042997033 · 10 -9 ⁢ x 3 ⁢ y 4 ⁢ z 2 + 1.75169667221458 · 10 -9 ⁢ x 3 ⁢ y 3 ⁢ z 3 + 2.10856613962517 · 10 -9 ⁢ x 3 ⁢ y 2 ⁢ z 4 - 1.8126185907653 · 10 -9 ⁢ x 3 ⁢ y ⁢ z 5 - 1.38122584014615 · 10 -9 ⁢ x 3 ⁢ z 6 - 0.504788491576338 ⁢ x 2 ⁢ y 7 + 2.32840040407918 ⁢ x 2 ⁢ y 6 ⁢ z - 1.28161330874381 ⁢ x 2 ⁢ y 5 ⁢ z 2 - 6.19282709927595 ⁢ x 2 ⁢ y 4 ⁢ z 3 + 4.79330053000986 ⁢ x 2 ⁢ y 3 ⁢ z 4 + 6.22585909895079 ⁢ x 2 ⁢ y 2 ⁢ z 5 - 2.73630046153379 ⁢ x 2 ⁢ y ⁢ z 6 - 2.0907856951756 ⁢ x 2 ⁢ z 7 - 2.61224068948139 · 10 -11 ⁢ x ⁢ y 8 + 1.62398508872973 · 10 -10 ⁢ x ⁢ y 7 ⁢ z - 1.87125656101384 · 10 -10 ⁢ x ⁢ y 6 ⁢ z 2 - 5.99291736462113 · 10 -10 ⁢ x ⁢ y 5 ⁢ z 3 + 1.26840898132158 · 10 -9 ⁢ x ⁢ y 4 ⁢ z 4 + 2.08237515797689 · 10 -10 ⁢ x ⁢ y 3 ⁢ z 5 - 1.33685646372163 · 10 -9 ⁢ x ⁢ y 2 ⁢ z 6 + 1.30498729084796 · 10 -10 ⁢ x ⁢ y ⁢ z 7 + 1.79970366202169 · 10 -10 ⁢ x ⁢ z 8 + 0.0563858433370229 ⁢ y 9 - 0.467293133613127 ⁢ y 8 ⁢ z + 1.28161330741715 ⁢ y 7 ⁢ z 2 - 0.708496733216063 ⁢ y 6 ⁢ z 3 - 2.39665026294871 ⁢ y 5 ⁢ z 4 + 3.11292955057919 ⁢ y 4 ⁢ z 5 + 0.912100152380785 ⁢ y 3 ⁢ z 6 - 2.09078569526425 ⁢ y 2 ⁢ z 7 + 1.40425959287793 · 10 -10 ⁢ y ⁢ z 8 + 0.00705483675959769 ⁢ z 9
≃
2380896.82519547 ⁢ - x - 0.729258346206677 ⁢ y + 0.727781732441915 ⁢ z 9 - 6947676.05364025 ⁢ - x - 0.619721382928701 ⁢ y + 0.618725694861009 ⁢ z 9 + 13220124.7356317 ⁢ - x - 0.577350269174812 ⁢ y + 0.584631971179082 ⁢ z 9 - 9609406.44174142 ⁢ - x - 0.536478908104933 ⁢ y + 0.596825504671969 ⁢ z 9 + 7241456.37737902 ⁢ - x - 0.44310322926996 ⁢ y + 0.643168848479633 ⁢ z 9 + 6821.3739251457 ⁢ - x - 0.268061626727725 ⁢ y + 0.293770854043093 ⁢ z 9 + 3112667.81040602 ⁢ - x - 0.0695426730080776 ⁢ y + 0.829962798402872 ⁢ z 9 + 9609406.44632266 ⁢ - x + 0.53647890810518 ⁢ y - 0.596825504526279 ⁢ z 9 - 13220124.7417725 ⁢ - x + 0.577350269174157 ⁢ y - 0.584631971033646 ⁢ z 9 + 2603883.3093554 ⁢ - x + 0.577350269182715 ⁢ y - 0.576422665048878 ⁢ z 9 - 2380896.82657527 ⁢ - x + 0.729258346188698 ⁢ y - 0.72778173227943 ⁢ z 9 + 380834.337196557 ⁢ - x + 0.96793336044347 ⁢ y - 0.96637815793565 ⁢ z 9 - 412.346899407536 ⁢ - x + 0.999790222623675 ⁢ y - 0.401245079295575 ⁢ z 9 + 968264.399786432 ⁢ - 0.702257600040002 ⁢ x - 0.786872848026557 ⁢ y - z 9 + 589843.548169065 ⁢ - 0.673952454347285 ⁢ x - y + 0.998446601453092 ⁢ z 9 - 5671750.2421848 ⁢ - 0.250560639046082 ⁢ x + y + 0.715839869966238 ⁢ z 9 + 15415801.7564314 ⁢ - 0.106899414664023 ⁢ x + y + 0.591377748152394 ⁢ z 9 + 29862547.5844375 ⁢ - 0.0312057953677463 ⁢ x - y - 0.526178255824751 ⁢ z 9 - 29862547.5845394 ⁢ - 0.0312057953401219 ⁢ x + y + 0.526178255826924 ⁢ z 9 - 1175698.57508409 ⁢ - 4.40385294436983 · 10 -11 ⁢ x + y - 0.998366122433211 ⁢ z 9 - 48245839.5044969 ⁢ - 1.26525246074838 · 10 -11 ⁢ x - y - 0.506306138757093 ⁢ z 9 + 730564.473970961 ⁢ - 1.04368097832507 · 10 -11 ⁢ x - y - 0.463005198034606 ⁢ z 9 - 9502674.04500366 ⁢ 1.22366877958784 · 10 -11 ⁢ x + y + 0.499196671225386 ⁢ z 9 + 15415801.7562901 ⁢ 0.106899414699384 ⁢ x + y + 0.591377748145064 ⁢ z 9 - 5671750.24205332 ⁢ 0.250560639096163 ⁢ x + y + 0.715839869949062 ⁢ z 9 - 6824.8260086732 ⁢ 0.267836764427584 ⁢ x - y - 0.29375433989396 ⁢ z 9 + 6824.82600799203 ⁢ 0.267836764437262 ⁢ x + y + 0.293754339867268 ⁢ z 9 + 982379.469375189 ⁢ 0.329792330460547 ⁢ x + y - 0.998393240386254 ⁢ z 9 - 982379.469458807 ⁢ 0.329792330545524 ⁢ x - y + 0.998393240338582 ⁢ z 9 - 1215553.36513285 ⁢ 0.488205894752592 ⁢ x - y - 0.921365232844725 ⁢ z 9 + 1215553.3650689 ⁢ 0.488205894826941 ⁢ x + y + 0.921365232811234 ⁢ z 9 + 589843.548271855 ⁢ 0.67395245442239 ⁢ x - y + 0.998446601355671 ⁢ z 9 + 968264.400301596 ⁢ 0.702257599914497 ⁢ x - 0.786872847989835 ⁢ y - z 9 - 1158522.63341402 ⁢ 0.867442699517211 ⁢ x - 0.500818274816218 ⁢ y - z 9 + 1158522.63260817 ⁢ 0.867442699672619 ⁢ x + 0.500818274840943 ⁢ y + z 9 - 6947676.05706318 ⁢ x - 0.619721382923902 ⁢ y + 0.618725694711667 ⁢ z 9 - 200186.245600638 ⁢ x - 0.57735026918748 ⁢ y + 0.534632351471496 ⁢ z 9 + 7241456.38116333 ⁢ x - 0.443103229271273 ⁢ y + 0.643168848331481 ⁢ z 9 - 5243069.58284678 ⁢ x - 0.285490253090748 ⁢ y + 0.722118164843785 ⁢ z 9 + 6821.37392682709 ⁢ x - 0.268061626751556 ⁢ y + 0.293770853921731 ⁢ z 9 + 1292140.98634919 ⁢ x - 0.207960989785132 ⁢ y - 0.968447332350232 ⁢ z 9 + 3112667.81254989 ⁢ x - 0.0695426730240845 ⁢ y + 0.829962798239425 ⁢ z 9 - 1292140.98737471 ⁢ x + 0.20796098974824 ⁢ y + 0.968447332170496 ⁢ z 9 + 5243069.57971777 ⁢ x + 0.285490253085343 ⁢ y - 0.722118164997361 ⁢ z 9 + 2603883.30817163 ⁢ x + 0.577350269182815 ⁢ y - 0.57642266519353 ⁢ z 9 + 200186.245510888 ⁢ x + 0.57735026918518 ⁢ y - 0.534632351612168 ⁢ z 9 + 380834.336903811 ⁢ x + 0.96793336049731 ⁢ y - 0.966378158133954 ⁢ z 9 - 412.346899225847 ⁢ x + 0.999790222637554 ⁢ y - 0.401245079429082 ⁢ z 9
‖ P ‖
=
1.0
‖ P - P 1 ‖
=
0.695106665257518
dist ( P , Δ )
=
2.4519823671465 · 10 -10 ± 3.3 · 10 -14